統計学講義

林 譲

1.統計量のバラツキ

科学実験の結果は,必ず誤差を含むため,実験ごとに異なる.この章では,実験値から統計量(平均と標準偏差)を推定し,推定した統計量がどのくらいばらつくのかを実感する.

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2.正規分布に基づく真の平均値の推定

n回の実験で得られた値をX 1 ,X 2 ,...,X n としよう.nは有限な数であるから,実現した事象X 1 ,X 2 ,...,X n は,全ての事象の一部である.一般に,これらから計算する平均値と標準偏差は,真の値とは異なる.しかし,これだけのデータX 1 ,X 2 ,...,X n からでも,真の値が存在する範囲は推定できる.この範囲を信頼区間と呼ぶ.

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3.確率変数tとt‐分布

tとは,平均と標準偏差の関数である.この章では,正規乱数からtを作り,tの分布を調べる.この分布がt-分布である.
t-分布は,正規分布から考えると分かりやすい.

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4.t‐分布に基づく真の平均値の推定

現実には,セット実験の結果(X 1 ,X 2 ,...,X n )から,そのt値を計算することは不可能である.なぜならば,tに含まれる定数値μが未知だからである.逆に考えると,真の平均μが未知であるからこそ,μの信頼区間が得られるのである.

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5.真の標準偏差の推定

ある実験データの平均値をm,標準偏差をsとする.真の標準偏差αが存在する範囲を推定してみよう.そのためには,χ2-分布が必要である.
χ2は,実験より得られた分散と真の分散の比にn-1を掛けたものになる:

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